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परिचय

किसी बड़ी संख्या, गुणनफल या घातांक (Power) का पूरा मान निकाले बिना उसके इकाई (Units) स्थान का अंक ज्ञात करना गणित की एक महत्वपूर्ण विधि है। प्रतियोगी परीक्षाओं(UPSC, CGPSC, SSC, VYAPAM, Railway, Bank etc) तथा संख्या पद्धति (Number System) में यह विषय अत्यंत उपयोगी है।

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1. गुणनफल में इकाई का अंक ज्ञात करना

नियम

किसी गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए केवल सभी संख्याओं के इकाई अंकों का गुणा किया जाता है।

प्राप्त गुणनफल का जो इकाई अंक होगा, वही उत्तर होगा।

सूत्र

यदि

A X B X CX D

तो इकाई अंक

A का इकाई अंक X B का इकाई अंक X C का इकाई अंक X D का इकाई अंक

से प्राप्त किया जाएगा।

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विशेष नियम

यदि किसी भी संख्या का इकाई अंक 0 हो, तो पूरे गुणनफल का इकाई अंक भी 0 होगा।

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उदाहरण 1

756 X 938 X 872

इकाई अंक:

6 X 8 X 2 = 96 का इकाई अंक = 6

उत्तर = 6

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उदाहरण 2

938 X 845 X 384 X 212

इकाई अंक:

8 X 5 X 4 X 2 = 320 का इकाई अंक = 0

उत्तर = 0

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2. घातांक (Power) वाली संख्याओं में इकाई का अंक

महत्वपूर्ण तथ्य

घातीय संख्याओं का इकाई अंक केवल आधार (Base) के इकाई अंक पर निर्भर करता है।

उदाहरण:

952⁶⁷

यहाँ केवल 2 महत्वपूर्ण है क्योंकि इकाई अंक 2 है।

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3. इकाई अंक 0, 1, 5, 6 होने पर

इन अंकों की किसी भी घात का इकाई अंक नहीं बदलता।

आधार का इकाई अंक	किसी भी घात में इकाई अंक
0	0
1	1
5	5
6	6

उदाहरण :

1. (1570)⁶⁷

इकाई अंक = 0

2. (781)⁸⁰

इकाई अंक = 1

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4. इकाई अंक 2, 3, 7, 8, 9 होने पर

इन अंकों का इकाई अंक हर 4 घातों के बाद दोहराया जाता है।

इसे चक्र (Cycle) कहते हैं।

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(A) इकाई अंक 2 का चक्र

घात	इकाई अंक
2¹	2
2²	4
2³	8
2⁴	6
2⁵	2

चक्र = 2, 4, 8, 6

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(B) इकाई अंक 3 का चक्र

घात	इकाई अंक
3¹	3
3²	9
3³	7
3⁴	1

चक्र = 3, 9, 7, 1

---

(C) इकाई अंक 7 का चक्र

घात	इकाई अंक
7¹	7
7²	9
7³	3
7⁴	1

चक्र = 7, 9, 3, 1

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(D) इकाई अंक 8 का चक्र

घात	इकाई अंक
8¹	8
8²	4
8³	2
8⁴	6

चक्र = 8, 4, 2, 6

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(E) इकाई अंक 9 का चक्र

घात	इकाई अंक
9¹	9
9²	1
9³	9
9⁴	1

चक्र = 9, 1

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5. इकाई अंक ज्ञात करने की विधि

चरण 1

घात (Power) में से 1 घटाइए।

चरण 2

प्राप्त संख्या को 4 से भाग दीजिए।

चरण 3

शेषफल में 1 जोड़िए।

चरण 4

यही संख्या चक्र में स्थान (Position) बताएगी।

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6. इकाई अंक 4 का चक्र

घात	इकाई अंक
4¹	4
4²	6
4³	4
4⁴	6

चक्र = 4, 6

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7. इकाई अंक 0 से 9 तक के सभी चक्र

अंक	चक्र
0	0
1	1
2	2, 4, 8, 6
3	3, 9, 7, 1
4	4, 6
5	5
6	6
7	7, 9, 3, 1
8	8, 4, 2, 6
9	9, 1

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परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण बिंदु

1. गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए केवल इकाई अंकों का गुणा करें।
2. यदि किसी संख्या का इकाई अंक 0 है तो पूरे गुणनफल का इकाई अंक 0 होगा।
3. 0, 1, 5, 6 की किसी भी घात का इकाई अंक नहीं बदलता।
4. 2, 3, 7, 8 का चक्र 4 का होता है।
5. 4 और 9 का चक्र 2 का होता है।
6. बड़ी घातों में केवल आधार का इकाई अंक महत्वपूर्ण होता है।
7. प्रतियोगी परीक्षाओं में इकाई अंक निकालने के लिए चक्र विधि सबसे तेज़ और प्रभावी है।

FAQ Section (SEO के लिए बहुत महत्वपूर्ण)

Q1. इकाई का अंक क्या होता है?
उत्तर: किसी संख्या का सबसे दायाँ अंक उसका इकाई अंक कहलाता है।

Q2. 2 की घातों का चक्र क्या है?
उत्तर: 2, 4, 8, 6

Q3. 5 की किसी भी घात का इकाई अंक क्या होगा?
उत्तर: हमेशा 5

Q4. 0 की किसी भी घात का इकाई अंक क्या होगा?
उत्तर: 0

Q5. प्रतियोगी परीक्षाओं में इकाई अंक क्यों पूछा जाता है?
उत्तर: यह संख्या पद्धति का महत्वपूर्ण और समय बचाने वाला विषय है।

महत्वपूर्ण ट्रिक्स (Quick Tricks)

Trick 1

यदि इकाई अंक 0, 1, 5, 6 हो तो घात चाहे कितनी भी बड़ी हो, इकाई अंक नहीं बदलता।

Trick 2

यदि इकाई अंक 4 या 9 हो तो केवल घात सम (Even) या विषम (Odd) है, यही देखना पर्याप्त है।

Trick 3

यदि इकाई अंक 2, 3, 7, 8 हो तो 4 का चक्र (Cycle) प्रयोग करें।

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संख्या पद्धति PYQ – इकाई का अंक ज्ञात करना

1. ((4387)^{245} \times (621)^{72}) के गुणनफल में इकाई अंक ज्ञात कीजिए— (SSC Tier-1, 26.6.2011)

(a) 1
(b) 2
(c) 5
(d) 7

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2. ((122)^{173}) के गुणनफल में एकक-अंक क्या है— (SSC Tier-1, 19.6.2011)

(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8

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3. संख्या ([(57^{25}-1)]) का अंतिम अंक, अर्थात् इकाई के स्थान पर अंक है— (SSC FCI, 11.11.2012)

(a) 6
(b) 8
(c) 0
(d) 5

---

4. ((1570)^2 + (1571)^2 + (1572)^2 + (1573)^2) में इकाई के स्थान पर कौन-सा अंक है? (SSC 10+2, 21.10.2012)

(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

---

5. ((1001)^{2008} + 1002) का अंतिम अंक कौन-सा है? (SSC Tier-1, 26.06.2011)

(a) 0
(b) 3
(c) 4
(d) 6

---

6. (3^{40}) का अंतिम अंक कितना होगा? (SSC 10+2, 28.10.2012)

(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9

---

7. (49237 \times 3995 \times 738 \times 83 \times 9) के गुणनफल का इकाई के स्थान का अंक बताइए— (SSC, 9.11.2014)

(a) 0
(b) 7
(c) 5
(d) 6

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8. (3 \times 38 \times 537 \times 1256) में इकाई का अंक कौन-सा है? (SSC Tier-2, 29.9.2013)

(a) 4
(b) 2
(c) 6
(d) 8

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9. ((264)^{102} + (264)^{103}) में इकाई का अंक है— (SSC स्नातक स्तरीय परीक्षा, 1999 (प्रथम पाली))

(a) 0
(b) 6
(c) 4
(d) 8

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10. संख्या (17^{1999} + 11^{1999} + 7^{1999}) के इकाई के स्थान में अंक है— (R.R.B. भोपाल, 2001)

(a) 7
(b) 1
(c) 5
(d) 3

---

11. (\left[(251)^{98} + (21)^{29} – (106)^{100} + (705)^{35} – 16^4 + 259\right]) के सरलीकृत रूप में इकाई का अंक बताइए। (S.S.C. स्नातक स्तरीय परीक्षा, 2000 (प्रथम पाली))

(a) 1
(b) 4
(c) 5
(d) 6

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12. गुणनफल ((2153)^{167}) में इकाई का अंक होगा— (S.S.C. स्नातक स्तरीय परीक्षा, 2004 (द्वितीय पाली))

(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9

---

13. ((134)^{94} + (234)^{95}) में इकाई का अंक होगा— (S.S.C. Tax Assistant, 13.12.2009)

(a) 0
(b) 2
(c) 4
(d) 6

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संख्या पद्धति : इकाई का अंक ज्ञात करना – Practice MCQ Questions

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1. 756 × 938 × 872 के गुणनफल का इकाई अंक क्या होगा?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

उत्तर: C) 6

संक्षिप्त व्याख्या:
इकाई अंक = 6 × 8 × 2 = 96 ⇒ इकाई अंक = 6

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2. 938 × 845 × 384 × 212 का इकाई अंक क्या होगा?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 8

उत्तर: A) 0

संक्षिप्त व्याख्या:
8 × 5 × 4 × 2 = 320 ⇒ इकाई अंक = 0

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3. यदि किसी गुणनफल में एक संख्या का इकाई अंक 0 हो तो गुणनफल का इकाई अंक होगा—

A) 1
B) 5
C) 9
D) 0

उत्तर: D) 0

संक्षिप्त व्याख्या:
किसी भी संख्या × 0 का इकाई प्रभाव 0 देता है।

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4. (1570)⁶⁷ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 7
B) 0
C) 5
D) 1

उत्तर: B) 0

संक्षिप्त व्याख्या:
0 की किसी भी घात का इकाई अंक 0 होता है।

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5. (781)⁸⁰ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 0
B) 8
C) 1
D) 9

उत्तर: C) 1

संक्षिप्त व्याख्या:
1 की किसी भी घात का इकाई अंक 1 रहता है।

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6. (2925)⁶⁵ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 5
B) 1
C) 0
D) 6

उत्तर: A) 5

संक्षिप्त व्याख्या:
5 की किसी भी घात का इकाई अंक 5 होता है।

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7. (1246)⁸⁵ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 2

उत्तर: B) 6

संक्षिप्त व्याख्या:
6 की किसी भी घात का इकाई अंक 6 रहता है।

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8. 2 की घातों के इकाई अंकों का चक्र क्या है?

A) 2, 4, 8, 6
B) 2, 8, 4, 6
C) 2, 6, 8, 4
D) 2, 4, 6, 8

उत्तर: A) 2, 4, 8, 6

संक्षिप्त व्याख्या:
2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16

---

9. (952)⁶⁷ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 2

उत्तर: C) 8

संक्षिप्त व्याख्या:
2 का चक्र: 2,4,8,6
67−1=66, 66÷4 शेष 2
चक्र का तीसरा पद = 8

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10. 3 की घातों का इकाई अंक चक्र है—

A) 3, 9, 7, 1
B) 3, 1, 7, 9
C) 3, 7, 9, 1
D) 3, 9, 1, 7

उत्तर: A) 3, 9, 7, 1

संक्षिप्त व्याख्या:
3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81

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11. (2113)¹¹⁰ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 3
B) 1
C) 7
D) 9

उत्तर: D) 9

संक्षिप्त व्याख्या:
3 का चक्र: 3,9,7,1
109÷4 शेष 1 ⇒ दूसरा पद = 9

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12. (4137)¹³² का इकाई अंक क्या होगा?

A) 7
B) 9
C) 1
D) 3

उत्तर: C) 1

संक्षिप्त व्याख्या:
7 का चक्र: 7,9,3,1
131÷4 शेष 3 ⇒ चौथा पद = 1

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13. 7 की घातों का चक्र क्या है?

A) 7,3,9,1
B) 7,9,3,1
C) 7,1,9,3
D) 7,9,1,3

उत्तर: B) 7,9,3,1

संक्षिप्त व्याख्या:
7¹=7, 7²=49, 7³=343, 7⁴=2401

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14. (1524)⁸¹ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 4
B) 6
C) 2
D) 8

उत्तर: A) 4

संक्षिप्त व्याख्या:
4 का चक्र: 4,6
80÷4 शेष 0 ⇒ पहला पद = 4

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15. 4 की घातों का इकाई अंक चक्र क्या है?

A) 4,6
B) 4,8
C) 4,2
D) 4,1

उत्तर: A) 4,6

संक्षिप्त व्याख्या:
4¹=4, 4²=16, 4³=64, 4⁴=256

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16. 9 की घातों का इकाई अंक चक्र क्या है?

A) 9,3
B) 9,1
C) 9,7
D) 9,5

उत्तर: B) 9,1

संक्षिप्त व्याख्या:
9¹=9, 9²=81, 9³=729

---

17. (1239)⁶⁶ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 1
B) 9
C) 7
D) 3

उत्तर: A) 1

संक्षिप्त व्याख्या:
9 का चक्र 9,1
65÷4 शेष 1 ⇒ दूसरा पद = 1

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18. (1549)⁸⁹ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 1
B) 9
C) 7
D) 3

उत्तर: B) 9

संक्षिप्त व्याख्या:
88÷4 शेष 0 ⇒ पहला पद = 9

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19. (1237)²⁸ × (1583)⁴⁸ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 1
B) 3
C) 7
D) 9

उत्तर: A) 1

संक्षिप्त व्याख्या:
7²⁸ का इकाई अंक = 1
3⁴⁸ का इकाई अंक = 1
1×1 = 1

---

20. (592)⁸⁰ × (1978)⁶⁰ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 4
B) 8
C) 6
D) 2

उत्तर: C) 6

संक्षिप्त व्याख्या:
2⁸⁰ का इकाई अंक = 6
8⁶⁰ का इकाई अंक = 6
6×6 = 36 ⇒ इकाई अंक = 6

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21. (1373)³⁶ − (1442)²⁰ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 3
B) 5
C) 7
D) 9

उत्तर: B) 5

संक्षिप्त व्याख्या:
3³⁶ का इकाई अंक = 1
2²⁰ का इकाई अंक = 6
1−6 = −5 ⇒ इकाई अंक = 5

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22. (258)¹⁰⁰ + (547)⁸⁴ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 5
B) 7
C) 9
D) 1

उत्तर: B) 7

संक्षिप्त व्याख्या:
8¹⁰⁰ का इकाई अंक = 6
7⁸⁴ का इकाई अंक = 1
6+1 = 7

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23. (213)¹⁶ × (522)²⁰ × (218)³² का इकाई अंक क्या होगा?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

उत्तर: C) 6

संक्षिप्त व्याख्या:
3¹⁶=1, 2²⁰=6, 8³²=6
1×6×6 = 36 ⇒ इकाई अंक = 6

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24. (1507)⁴⁰ × (1524)⁸¹ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

उत्तर: B) 4

संक्षिप्त व्याख्या:
7⁴⁰ का इकाई अंक = 1
4⁸¹ का इकाई अंक = 4
1×4 = 4

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25. (545)⁶³ × (938)⁶⁴ का इकाई अंक क्या होगा?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 5

उत्तर: A) 0

संक्षिप्त व्याख्या:
5⁶³ का इकाई अंक = 5
8⁶⁴ का इकाई अंक = 6
5×6 = 30 ⇒ इकाई अंक = 0

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